GEDEL O KANTOROVOM PROBLEMU KONTINUUMA I: GEDELOVA FILOZOFIJA MATEMATIKE
Glavni sadržaj članka
Apstrakt
Kantorov problem kontinuuma je pitanje: Koliko tačaka ima na pravoj u
euklidskom prostoru? Kantor (Georg Cantor) je verovao da je broj tačaka na pravoj,
tj. kardinalnost kontinuuma, prvi beskonačni kardinal koji dolazi posle kardinalnosti
skupa prirodnih brojeva. To je gruba formulacija Kantorove hipoteze kontinuuma.
Kantor je u više navrata tokom svoje karijere pokušavao da dokaže hipotezu
kontinuuma. Međutim, njegov napor nije urodio plodom. Početkom XX veka,
teorija skupova biva formulisana kao aksiomatska teorija. Ta aksiomatska teorija
se zove Cermelo-Frenkelova teorija skupova sa aksiomom izbora, tj., ZFC teorija
skupova. Na osnovu rezultata Gedela (Kurt Gödel) i Koena (Paul Cohen), znamo da
teorija ZFC niti dokazuje, niti opovrgava Kantorovu hipotezu, te Kantorov problem
kontinuuma ostavlja nerešenim. Međutim, prema Gedelovom mišljenju, Kantorov
problem kontinuuma se može rešiti proširivanjem teorije skupova ZFC novim
aksiomama koje će nam dati celovitiji uvid u strukturu univerzuma skupova. Ovaj
rad je prvi u nizu od dva rada u kojima nam je cilj da predstavimo neke od Gedelovih
predloga za pristup rešavanju Kantorovog problema kontinuuma, kao i Gedelovu
platonističku fi lozofsku poziciju koja stoji u osnovi tih predloga. Ovaj rad je fokusiran
na predstavljanje Gedelove fi lozofi je matematike. U tom cilju ćemo prvo predstaviti
reprezentativne pravce u fi lozofi ji matematike i njihove glavne predstavnike. Potom
ćemo objasniti šta je Hilbertov program i kakve su, prema Gedelovom mišljenju,
posledice nemogućnosti njegovog sprovođenja. Zatim se bavimo ontološkim, a na
kraju epistemološkim aspektom Gedelovog platonizma.
Detalji članka
Ovaj rad je pod Creative Commons Autorstvo-Bez prerada 4.0 Internacionalna licenca.
Reference
Adžić, M., Gedel o aksiomatizaciji teorije skupova, Doktorska disertacija, Beograd
Barker, S., Filozofija matematike, Nolit, Beograd 1973.
Boolos, G., „The Iterative Conception of Set”, The Journal of Philosophy br. 68 (8).
Brouwer, L. E. J. , „Intuitionism and formalism” u Philosophy of mathematics: Selected
readings (priredili P. Benacerraf i H. Putnam.), Cambridge University Press,
Cambridge 1983.
Brouwer, L. E. J., „Consciousness, philosophy, and mathematics” u Philosophy
of mathematics: Selected readings (priredili P. Benacerraf i H. Putnam.),
Cambridge University Press, Cambridge 1983.
Frege, G., „O smislu i nominatumu” u Ogledi o jeziku i značenju (priredili A. Pavković
i Ž. Lazović), Filozofsko društvo Srbije, Beograd 1992.
Frege, G., „Osnove aritmetike: Logičko-matematičko istraživanje pojma broja” u
Osnove aritmetike i drugi spisi (priredili F. Grgić i M. Hudoletnjak Grgić),
Kruzak, Zagreb 1995.
Frege, G., „Funkcija i pojam” u Osnove aritmetike i drugi spisi (priredili F. Grgić i M.
Hudoletnjak Grgić), Kruzak, Zagreb 1995.
Gödel, K., „Russell's mathematical logic” u Kurt Gödel. Collected works. Volume II.
Publications 1938 – 1974. (priredili S. Feferman, J. W. Dawson Jr., S. C.
Kleene, G. H. Moore, R. M. Solovay i J. van Heijenoort), Oxford University
Press, Oxford 1990.
Gödel, K., „What is Cantor's continuum problem? 1947” u Kurt Gödel. Collected
works. Volume II. Publications 1938 – 1974. (priredili S. Feferman, J. W.
Dawson Jr., S. C. Kleene, G. H. Moore, R. M. Solovay i J. van Heijenoort),
Oxford University Press, Oxford 1990.
Gödel, K. „What is Cantor's continuum problem? 1964” u Kurt Gödel. Collected
works. Volume II. Publications 1938 – 1974. (priredili S. Feferman, J. W.
Dawson Jr., S. C. Kleene, G. H. Moore, R. M. Solovay i J. van Heijenoort),
Oxford University Press, Oxford 1990.
Gödel, K., „Some basic theorems on the foundations of mathematics and their
implications” u Kurt Gödel. Collected works. Volume III. Unpublished
Essays and Lectures. (priredili S. Feferman, J. W. Dawson Jr., W. Goldfarb,
C. Parsons i R. Solovay), Oxford University Press, Oxford 1995.
Hilbert, D., „On the Infinite” u From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical
Logic, 1879 – 1931 (priredio J. van Heijenoort), Harvard University Press,
Massachusetts 1967.
Linnebo, Ø., Philosophy of Mathematics, Princeton University Press, Princeton 2017.
Maddy, P., „Believing the Axioms. I”, The Journal of Symbolic Logic, br. 53 (2).
Mijajlović, Ž., Marković, Z. i Došen, K., Hilbertovi problemi i logika, Zavod za
udžbenike i nastavna sredstva, Beograd 1986.
Quine, W. V. O., Philosophy of Logic, Harvard University Press, Cambridge 1986.
Russell, B. Principles of Mathematics, Routledge, London 2010.
Wang, H. „The concept of set” u Philosophy of mathematics: Selected readings
(priredili P. Benacerraf i H. Putnam.), Cambridge University Press,
Cambridge 1983.
Horsten, L., „Philosophy of Mathematics”, https://plato.stanford.edu/archives/
win2023/entries/philosophy-mathematics/ 10.10.2024.