GEDEL O KANTOROVOM PROBLEMU KONTINUUMA II: KANTOROV PROBLEM KONTINUUMA
Glavni sadržaj članka
Apstrakt
Kantorov problem kontinuuma je pitanje: Koliko tačaka ima na pravoj u Euklidskom prostoru? Kantor (Georg Cantor) je verovao da je broj tačaka na pravoj, tj. kardinalnost kontinuuma, prvi beskonačni kardinal koji dolazi posle kardinalnosti skupa prirodnih brojeva. To je gruba formulacija Kantorove hipoteze kontinuuma. Kantor je u više navrata tokom svoje karijere pokušavao da dokaže hipotezu kontinuuma. Međutim, njegov napor nije urodio plodom. Početkom XX veka, teorija skupova biva formulisana kao aksiomatska teorija. Ta aksiomatska teorija se zove Cermelo-Frenkelova teorija skupova sa aksiomom izbora, tj., ZFC teorija skupova. Na osnovu rezultata Gedela (Kurt Gödel) i Koena (Paul Cohen), znamo da teorija ZFC niti dokazuje, niti opovrgava Kantorovu hipotezu, te Kantorov problem kontinuuma ostavlja nerešenim. Međutim, prema Gedelovom mišljenju, Kantorov problem kontinuuma se može rešiti proširivanjem teorije skupova ZFC novim aksiomama koje će nam dati celovitiji uvid u strukturu univerzuma skupova. Ovaj rad je drugi u nizu od dva rada u kojima nam je cilj da predstavimo neke od Gedelovih predloga za pristup rešavanju Kantorovog problema kontinuuma, kao i Gedelovu platonističku filozofsku poziciju koja stoji u osnovi tih predloga. U ovom radu nam je cilj da predstavimo Gedelove predloge za nove aksiome i njihove posledice, zajedno sa opravdanjem koje se u prilog tih principa može ponuditi. Prvo ćemo predstaviti Gedelove reakcije na stanovišta prema kojima je Kantorov problem kontinuuma rešen dokazom nezavisnosti CH. Potom ćemo razmotriti Gedelovo mišljenje o istinitosti CH. Zatim ćemo navesti neke od jakih aksioma beskonačnosti i njihove posledice po Kantorov problem. Na kraju ćemo razmotriti aksiomu konstruktibilnosti kao kandidata za novu aksiomu.
Detalji članka
Ovaj rad je pod Creative Commons Autorstvo-Bez prerada 4.0 Internacionalna licenca.
Reference
Adžić, M., Gedel o aksiomatizaciji teorije skupova, Doktorska disertacija, Beograd 2004.
Gödel, K., „What is Cantor’s continuum problem? 1947” u Kurt Gödel. Collected works. Volume II. Publications 1938 – 1974. (priredili S. Feferman, J. W.
Dawson Jr., S. C. Kleene, G. H. Moore, R. M. Solovay i J. van Heijenoort), Oxford University Press, Oxford 1990.
Gödel, K. „What is Cantor’s continuum problem? 1964” u Kurt Gödel. Collected works. Volume II. Publications 1938 – 1974. (priredili S. Feferman, J. W.
Dawson Jr., S. C. Kleene, G. H. Moore, R. M. Solovay i J. van Heijenoort), Oxford University Press, Oxford 1990.
Gödel, K. „The consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum hypothesis” u Kurt Gödel. Collected works. Volume II. Publications 1938 – 1974. (priredili S. Feferman, J. W. Dawson Jr., S. C. Kleene, G. H. Moore, R. M. Solovay i J. van Heijenoort), Oxford University Press, Oxford 1990.
Jensen, R., „Inner Models and Large Cardinals”, The Bulletin of Symbolic Logic, br. 1 (4).
Maddy, P., „Believing the Axioms. I”, The Journal of Symbolic Logic, br. 53 (2).
Maddy, P., „Believing the Axioms. II”, The Journal of Symbolic Logic, br. 53 (3).
Moore, G. H., „Introductory note to 1947 and 1964” u Kurt Gödel. Collected works.
Volume II. Publications 1938 – 1974. (priredili S. Feferman, J. W. Dawson Jr., S. C. Kleene, G. H. Moore, R. M. Solovay i J. van Heijenoort), Oxford University Press, Oxford 1990.
Reinhardt, W. N., „Remarks on reflection principles, large cardinals, and elementary embeddings”, Proceedings in Symposia in Pure Mathematics, br. 13 (2).
Wang, H. „The concept of set” u Philosophy of mathematics: Selected readings (priredili P. Benacerraf i H. Putnam.), Cambridge University Press, Cambridge 1983.